شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | اصل لانه کبوتری](https://dl.my-dars.com/upload/image/04 (5)1728768568.jpg)
اگر m کبوتر و n لانه داشته باشیم و \(m\rangle n\) و همه کبوتر ها درون لانه ها قرار بگیرند در این صورت لانه ای وجود دارد که حداقل دو کبوتر در آن قرار گرفته است.
مثال
در کلاس 40 نفره، حداقل چند نفر ماه تولدشان یکسان است؟
40 نفر را کبوتر و 12 ماه سال را لانه در نظر می گیریم \(40 \div 12 = 3 \to 3 \times 12 = 36 \to 40 - 36 = 4\) باقی مانده صفر نشد پس حداقل \(3 + 1\) یعنی 4 نفر می توان یافت.
اگر باقی مانده صفر نشود یک واحد به خارج قسمت اضافه می کنیم.
هر گاه (\(kn + 1\)) کبوتر یا بیشتر در n لانه قرار بگیرند در این صورت لانه ای وجود دارد که حداقل (\(k + 1\)) کبوتر در آن قرار گرفته است.
مثال
1 در یک اردوی دانش آموزی حداقل چند دانش آموز وجود داشته باشند تا اطمینان داشته باشیم که حداقل 7 نفر از آنها ماه تولد یکسانی دارند؟
\(\begin{array}{l}k + 1 = 7 \to k = 6\\kn + 1 = \left( {6 \times 12} \right) + 1 = 73\end{array}\)
2 در یک دبیرستان حداقل چند دانش آموز وجود داشته باشد تا مطمئن باشیم حداقل 10 نفر از آنها ماه و روز هفته تولدشان یکی است؟
\(\begin{array}{l}year = 12month\\week = 7day\\ \to n = 12 \times 7 = 84\\k + 1 = 10 \to k = 9 \to kn + 1 = 9 \times 84 + 1 = 757\end{array}\)
تمرین
1 54 شاخه گل را حداکثر در چند گلدان قرار دهیم تا اطمینان داشته باشیم گلدانی هست که در آن حداقل 5 شاخه گل قرار گرفته است؟
\(\begin{array}{l}k + 1 = 5 \to k = 4\\kn + 1 = 54 \to 4n + 1 = 54 \to n = \left[ {\frac{{53}}{4}} \right] = 13\end{array}\)
پس n باید حداکثر 13 باشد.
2 در بین اعداد 1 تا 90 چند عدد وجود دارد که بر 2 یا 3 بخش پذیر باشند؟
\(\begin{array}{l}\left| A \right| = \left[ {\frac{{90}}{2}} \right] = 45\\\left| B \right| = \left[ {\frac{{90}}{3}} \right] = 30\\\left| {A \cap B} \right| = \left[ {\frac{{90}}{6}} \right] = 15\\\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right| = 45 + 30 - 15 = 60\end{array}\)
3 در یک اردوی دانش آموزی حداقل چند دانش آموز حضور داشته باشند تا اطمینان داشته باشیم که لااقل 7 نفر از آنها ماه تولد یکسانی دارند؟
\(\begin{array}{l}k + 1 = 7 \to k = 6\\n = 12\\kn + 1 = \left( {6 \times 12} \right) + 1 = 73\end{array}\)
4 چند عدد طبیعی مانند n به طوریکه \(1 \le n \le 350\) وجود دارد که بر هیچ یک از اعداد 4 و 6 بخش پذیر نباشد؟
\(\begin{array}{l}\left| {\bar A \cap \bar B} \right| = \left| {\bar A \cap \bar B} \right| = \left| S \right| - \left( {\left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right|} \right) = 350\\350 - \left( {\left[ {\frac{{350}}{4}} \right] + \left[ {\frac{{350}}{6}} \right] - \left[ {\frac{{350}}{{12}}} \right]} \right) = 234\end{array}\)
تهیه کننده: عادل نقدی
